Question

4．若偶函數y=f（x）（x∈R）滿足f（1+x）=f（1-x），且當x∈[-1，0]時，f（x）=x²，則函數g（x）=f（x）-|lgx|的零點個數為10個．

Answer 1

分析 運用函數的對稱性和奇偶性，確定函數y=f（x）的周期，構造函數y=f（x），h（x）=|lgx|，則函數g（x）=f（x）-|lgx|的零點問題轉化為圖象的交點問題，結合圖象，即可得到結論．

解答 解：∵偶函數y=f（x）（x∈R）滿足f（1+x）=f（1-x），
即函數f（x）關于x=1對稱，即有f（x+2）=f（-x）=f（x），
則函數y=f（x）的周期為2，
構造函數y=f（x），h（x）=|lgx|，畫出它們的圖象，
則函數g（x）=f（x）-|lgx|的零點問題轉化為圖象的交點問題，由于f（x）的最大值為1，
所以x＞10時，圖象沒有交點，在（0，1）上有一個交點，
（1，3），（3，5），（5，7），（7，9）上各有兩個交點，在（9，10）上有一個交點，故共有10個交點，
即函數零點的個數為10．
故答案為：10．

點評 本題的考點是函數零點與方程根的關系，主要考查函數零點的定義，關鍵是正確作出函數圖象，注意掌握周期函數的一些常見結論：若f（x+a）=f（x），則周期為a；若f（x+a）=-f（x），則周期為2a等．