Question

已知函數(shù)，g（x）=x²．
（1）若，時，直線l與函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）的圖象相切于同一點，求切線l的方程
（2）若f（x）在[2，4]內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）求出其導函數(shù)，把切點的橫坐標代入導函數(shù)中即可表示出切線的斜率，兩次求出的斜率相等列出關(guān)于切點的橫坐標x的方程，求出切點的坐標，根據(jù)得出的切點坐標，同時由f（x）求出其導函數(shù)，把切點的橫坐標代入導函數(shù)中即可表示出切線的斜率，根據(jù)切點坐標和切線過原點寫出切線方程即可．
（2）通過解f′（x），求其單調(diào)區(qū)間，轉(zhuǎn)化為恒成立問題求a的取值范圍．
解答：解：（1）當a=時，由題意可得，f′（x）=（1-）+=，g′（x）=2x，
又直線L與函數(shù)f（x），g（x）的圖象相切于同一點，
∴=2x，（4分）
解得x=1，x=，（x=-1舍去），
此時，f（1）=g（1）=1，而f（）=+≠g（）=，切線的斜率k=2
∴切點為（1，1），則切線L的方程為：y=2x-1．（6分）
（2）∵f′（x）=a（1-）+=，
要使f（x）在[2，4]為單調(diào)增函數(shù)，須f′（x）≥0在[2，4]恒成立，
即≥0在[2，4]恒成立，即ax²+2x-a≥0在[2，4]恒成立，
a（x²-1）≥-2x，即a≥=（2≤x≤4），（8分）
設(shè)u（x）=-x（2≤x≤4），因為u′（x）=--1＜0，所以u（x）在[2，4]上單調(diào)遞減．
∴≥=≥-，
所以當a≥時，f（x）在[2，4]為單調(diào)增函數(shù)；（10分）
同理要使f（x）為單調(diào)減函數(shù)，須f′（x）≤0在[2，4]恒成立，易得a≤-，
綜上，若f（x）在[2，4]為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是（-∞，-]或[，+∞）．（12分）
點評：對于已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍問題的常見解法；設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）上可導，若f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，則可得f′（x）≥0，從而建立了關(guān)于待求參數(shù)的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，，則可得f′（x）≤0．