Question

已知橢圓C：=(m＞0)，經(jīng)過其右焦點F且以a=(1,1)為方向向量的直線l交橢圓C于A、B兩點，M為線段AB的中點，設(shè)O為橢圓的中心，射線OM交橢圓C于N點.

（1）證明：=；

（2）求的值.

Answer 1

解：（1）∵a²=m²，b²=m²，

∴c²=a²-b²=m²，F(xiàn)(m,0).

∵直線l過焦點F(m,0)且與向量a=(1,1)平行，∴直線l的方程為y=x-m，

將其代入橢圓C的方程，并整理可得8x²-10mx-m²=0.①

設(shè)A(x_a,y_a)，B(x_b,y_b)，M(x_m，y_m)，N(x_n,y_n)，

∵M是線段AB的中點，在方程①中由韋達定理可得x_m=m，

∴y_m=x_m-m=-m，M(m,-m).

設(shè)N′為OM延長線上的點，且M為ON′的中點，則N′(m,-m)，且四邊形OAN′B為平行四邊形，將N′的坐標代入橢圓C方程的左端并化簡得·(m)²+·(-m)²=m²，

∴N′點在橢圓C上，N′與N點重合，

∴四邊形OANB為平行四邊形，=；

（2）=x_ax_b+y_ay_b，在方程①中由韋達定理得x_ax_b=-m².

∴y_ay_b=(x_a-m)(x_b-m)

=x_ax_b-m(x_a+x_b)+m²

=-m²-m²+m²

=-m².?

∴=-m²-m²=-m².