Question

【題目】如圖甲所示，BO是梯形ABCD的高，∠BAD=45°，OB=BC=1，OD=3OA，現(xiàn)將梯形ABCD沿OB折起如圖乙所示的四棱錐P﹣OBCD，使得PC= ，點E是線段PB上一動點．
（1）證明：DE和PC不可能垂直；
（2）當PE=2BE時，求PD與平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖甲所示，因為BO是梯形ABCD的高，∠BAD=45°，

所以AO=OB

因為BC=1，OD=3OA，可得OD=3，OC=

如圖乙所示，OP=OA=1，OC= ，PC= ，

所以有OP2+OC2=PC2，所以OP⊥OC

而OB⊥OP，OB∩OC=O，所以OP⊥平面OPD

又OB⊥OD，所以OB、OD、OP兩兩垂直．故以O為原點，建立空間直角坐標系（如圖），則P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，3，0）

設E（x，0，1﹣x），其中0≤x≤1，所以 =（x，﹣3，1﹣x）， =（1，1，﹣1），

假設DE和SC垂直，則 =0，有x﹣3+（1﹣x）（﹣1）=0，解得x=2，

這與0≤x≤1矛盾，假設不成立，所以DE和SC不可能垂直

（2）解：因為PE=2BE，所以 E（ ，0， ）

設平面CDE的一個法向量是 =（x，y，z），

因為 =（﹣1，2，0）， =（ ，﹣3， ），所以

取 =（2，1，5）

而 =（0，3，﹣1），所以|cos＜ ， ＞= ，

所以PD與平面CDE所成角的正弦值為 ．

【解析】由題可知，可以直接建立空間直角坐標線證明位置關系和計算角．（1）只要證明 =0不成立即可．（2）求出平面CDE的法向量，用向量角的余弦值來求PD與平面CDE所成角的正弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．