Question

對正整數n，設曲線y=xⁿ（1-x）在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為a_n．
（i）a_n=

（n+1）2ⁿ

；
（ii）數列{

a n

n+1

}的前n項和S_n=

2ⁿ⁺¹-2

．

Answer 1

分析：（i）求出在x=2處的切線方程，進而得到切線與y軸交點的縱坐標；
（ii）數列{

a n

n+1

}是等比數列，利用等比數列的求和公式計算，從而問題解決．

解答：解：（i）求導函數可得y'=nx^n-1-（n+1）xⁿ，
曲線y=xⁿ（1-x）在x=2處的切線的斜率為k=n×2^n-1-（n+1）×2ⁿ
∵切點為（2，-2ⁿ），
∴切線方程為y+2ⁿ=k（x-2），
令x=0，并將k代入可得a_n=（n+1）2ⁿ，
（ii）令b_n=

a n

n+1

=2ⁿ．
∴數列{

a n

n+1

}的前n項和為2+2²+2³+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2．
故答案為：（n+1）2ⁿ，2ⁿ⁺¹-2．

點評：本題考查應用導數求曲線切線的斜率，數列通項公式以及等比數列的前n項和的公式．