Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，BD是對角線，過A作AE⊥BD，垂足為O，交CD于E，以AE為折痕將△ADE向上折起，使點D到點P的位置．且PB=．
（I）求證：PO⊥平面ABCE；
（n）求二面角E-AP-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，關鍵證明PO⊥OB，PO⊥AE；
（Ⅱ）過O作OH⊥AP于H，連接BH，則BH⊥AP，證明∠OHB為二面角E-AP-B的平面角，從而可求二面角E-AP-B的余弦值．
解答：（I）證明：∵矩形ABCD中，AB=3，AD=6，BD是對角線，∴BD=9
∵AE⊥BD，∴Rt△AOD∽Rt△BAD
∴，∴DO=4，∴BO=5
在Rt△POB中，PB=，PO=4，B0=5，∴PO²+BO²=PB²，
∴PO⊥OB，
∵PO⊥AE，AE∩OB=O
∴PO⊥平面ABCE；
（Ⅱ）解：∵OB⊥平面AOP，過O作OH⊥AP于H，連接BH，則BH⊥AP
∴∠OHB為二面角E-AP-B的平面角
∵OB=5，OH=
∴tan∠OHB=，
∴cos∠OHB=
即二面角E-AP-B的余弦值為．
點評：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關鍵是正確作出面面角，正確運用線面垂直的判定定理．