Question

（理）設(shè)直線l與球O有且只有一個公共點P，從直線l出發(fā)的兩個半平面α，β截球O的兩個截面圓的半徑分別為1和

3

，二面角α-l-β的平面角為150°，則球O的表面積為（　�。�

• A、4π
• B、16π
• C、28π
• D、112π

Answer 1

分析：欲求球O的表面積，只需求出球O的半徑，根據(jù)題意OP長即球O的半徑，再根據(jù)球心與截面圓圓心連線垂直截面圓，可考慮連接球心與兩個截面圓圓心，利用得到的圖形中的一些邊角關(guān)系，求出R，再利用球的表面積公式即可求出球O的表面積．

解答：解：設(shè)平面α，β截球O的兩個截面圓的圓心分別為A，B，
連接OA，OB，PA，PB，根據(jù)題意在四邊形OAPB中，∠APB=150°，∠OAP=∠OBP=90°
∴∠AOB=30°，
PA=1，PB=

3

，
設(shè)OP=R，則OA=

R2-1

，OB=

R2-3

設(shè)∠AOP=α，∠BOP=β，則sinα=

1

R

，cosα=

R2-1

R

，sinβ=

3

R

，cosβ=

R2-3

R

sin∠AOB=sin∠（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

1

R

R2-3

R

+

R2-1

R

3

R

=sin30°=

1

2

∴R²=28
∴球O的表面積為4πR²=112π
故選D

點評：本題考查了球的截面圓的性質(zhì)，以及二面角的平面角的找法，綜合性較強，做題時要認(rèn)真分析，找到聯(lián)系．