Question

已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若函數(shù)h（x）=|f（x）|-g（x）只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a≥-3時，求函數(shù)h（x）=|f（x）|+g（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)h（x）=|f（x）|-g（x）只有一個零點，可知x=1是函數(shù)的零點，因此轉(zhuǎn)化為因式|x-1|-a=0無實數(shù)根，即可求得實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a≥-3時，求出函數(shù)h（x）=|f（x）|+g（x）的解析式，根據(jù)分段函數(shù)最值的求法，分別求出各斷上函數(shù)的最值，然后求出它們的最大值即可．

解答：解：（1）∵函數(shù)h（x）=|f（x）|-g（x）只有一個零點，
即h（x）=|f（x）|-g（x）=|x²-1|-a|x-1|只有一個零點，
顯然x=1是函數(shù)的零點，
∴即|x-1|-a=0無實數(shù)根，
∴a＜0；
（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=）=|x²-1|+a|x-1|
=

x2+ax-a-1，1≤x≤2 -x2-ax+a+1，-1＜x＜1 x2-ax+a-1，-2≤x≤-1

，
當1＜x≤2時，∵a≥-3，
∴-

a

2

≤

3

2

，
當x=2時，h（x）的最大值為h（2）=a+3；
當-2≤x＜-1時，

a

2

≥-

3

2

，
當x=-2時，h（x）的最大值為h（-2）=3a+3；
當-1≤x≤1時，h（x）的最大值為max{h（-1），h（1），h（-

a

2

）}=max{0，

1

4

a2+a+1，2a}=

1

4

a2+a+1，
∴函數(shù)h（x）最大值為h（a）=

a+3         -3≤a≤0 3a+3        0＜a≤4+2 6 1 4 a2+a+1，a＞4+2 6

．

點評：本題考查函數(shù)的零點和二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，其中求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵，求出分段函數(shù)在各斷上的最值，再比較大小是難點，考查運算能力和分類討論的數(shù)學思想，屬中檔題．