Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=3，若數(shù)列{S_n+1}是公比為4的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=lg

an

96

，n∈N^*，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于a₁=3，數(shù)列{S_n+1}是公比為4的等比數(shù)列．可得S_n+1=4×4^n-1，再利用當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得b_n=lg

an

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=2n-7，由b_n≤0，解得n即可得出．

解答： 解：（1）∵a₁=3，數(shù)列{S_n+1}是公比為4的等比數(shù)列．
∴S_n+1=4×4^n-1，
∴Sn=4n-1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4ⁿ-1-（4^n-1-1）=3×4^n-1．
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立．
∴a_n=3•4^n-1．
（2）b_n=lg

an

96

=lg

3×4n-1

96

=2n-7，
由b_n≤0，解得n≤

7

2

，
∴當(dāng)n=3時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n取得最小值T₃=

3(-5+6-7)

2

=-9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．