【答案】
分析:(1)函數(shù)f (x)在R上是單調(diào)函數(shù),說明y=f'(x)在(-∞,+∞)上恒大于等于0或恒小于等于0,根據(jù)f'(x)=3(m-3)x
2+9得f'(0)=9>0,從而得到只有f'(x)≥0在R上恒成立,由此建立關(guān)于m的不等式即可解出實數(shù)m的取值范圍.
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,當(dāng)m≥3時f (x)在R上為增函數(shù),當(dāng)m<3時在區(qū)間
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,
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上單調(diào)遞減,在區(qū)間
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單調(diào)遞增.再根據(jù)m的取值結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性建立關(guān)于m的方程,解得m=-2符合題意,得到本題答案.
解答:解:(1)求導(dǎo)數(shù),得f'(x)=3(m-3)x
2+9
∵f'(0)=9>0,
∴f (x)在區(qū)間(-∞,+∞)上只能是單調(diào)增函數(shù). …(3分)
又∵f'(x)=3(m-3)x
2+9≥0在區(qū)間(-∞,+∞)上恒成立,
∴
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,解之可得m≥3,即m的取值范圍是[3,+∞). …(6分)
(2)由(1)的結(jié)論,得當(dāng)m≥3時,f (x)在[1,2]上是增函數(shù),
所以[f (x)]
max=f (2)=8(m-3)+18=4,解得m=
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<3,不合題意舍去. …(8分)
當(dāng)m<3時,f'(x)=3(m-3)x
2+9=0,解之得
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.
所以f (x)的單調(diào)區(qū)間為:在區(qū)間
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,
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上單調(diào)遞減,
在區(qū)間
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單調(diào)遞增.…(10分)
①當(dāng)
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,即
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時,得
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,
∴f (x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)增,可得[f (x)]
max=f(2)=8(m-3)+18=4,m=
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,不滿足題設(shè)要求.
②當(dāng)
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,即0<m<
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時,可得[f (x)]
max=
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舍去.
③當(dāng)
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,即m≤0時,則
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,
∴f (x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)減,可得[f (x)]
max=f (1)=m+6=4,m=-2,符合題意
綜上所述,m的值為-2.…(16分)
點評:本題給出三次多項式函數(shù),討論了函數(shù)的單調(diào)性,已知函數(shù)在區(qū)間[1,2]上的最大值為4的情況下求參數(shù)m的值.著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、三次多項式函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法等知識,屬于中檔題.