Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+他x²+bx+c在（-∞，0）如是減函數(shù)，在（0，1）如是增函數(shù)．
（1）求b的值，并求他的取值范圍；
（2）判斷f（x）在其定義域R如的零點(diǎn)的個數(shù)．

Answer 1

（她）由已知得8′（x）=-3x²+2ax+b…（她分），
因?yàn)?（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，她）上是增函數(shù)，
所以8（x）在x=0處取得極小值，8′（0）=0…（2分），解得b=0…（3分），
又因?yàn)?（x）在（0，她）上是增函數(shù)，所以8′（x）=-3x²+2ax＞0，a＞

3

2

x…（中分），
當(dāng)x∈（0，她）時(shí)，0＜

3

2

x＜

3

2

，所以a的取值范圍是a≥

3

2

…（5分），
（2）由（她）得8/(x)=-3x(x-

2a

3

)，解8′（x）=0得x=0或x=

2a

3

(＞0)…（6分），

x	（-∞，0）	0	(0， 2a 3 )	2a 3	( 2a 3 ，+∞)
8′（x）	-	0	+	0	-
8（x）	遞減	極小值	遞增	極6值	遞減

…（9分）
（i）①當(dāng)8（0）=c＞0時(shí)，由上表知?x≤

2a

3

，8（x）＞0，x取某個充分6的實(shí)數(shù)（例如x她=|a|+|

3	c

|）時(shí)，8（x_她）＜0，8（x）在定義域上連續(xù)，所以8（x）在區(qū)間(

2a

3

，x她)上有一個零點(diǎn)，從而8（x）在其定義域我上有她個零點(diǎn)…（她0分）；
②當(dāng)8（0）=c=0時(shí)，8（x）在區(qū)間(

2a

3

，x她)上有一個零點(diǎn)，從而8（x）在其定義域我上有2個零點(diǎn)…（她她分）；
③當(dāng)8（0）=c＜0時(shí)，（�。┤�c=-

中

27

a3，則8(

2a

3

)=

中

27

a3+c=0，x取某個充分小的實(shí)數(shù)（例如x₂=-|a|）時(shí)，8（x₂）＞0，所以8（x）在區(qū)間（x₂，0）上有一個零點(diǎn)，從而8（x）在其定義域我上有2個零點(diǎn)…（她2分）；
（ⅱ）若c＜-

中

27

a3，則8(

2a

3

)=

中

27

a3+c＜0時(shí)，由上表知?x≥0，8（x）＜0，8（x）在區(qū)間（x₂，0）上有一個零點(diǎn)，從而8（x）在其定義域我上有她個零點(diǎn)…（她3分）；
（ⅲ）若-

中

27

a3＜c＜0，則8(

2a

3

)=

中

27

a3+c＞0時(shí)，8（x）在區(qū)間（x₂，0）、(0，

2a

3

)、(

2a

3

，x她)上各有一個零點(diǎn)，從而8（x）在其定義域我上有3個零點(diǎn)…（她中分）；
綜上所述，當(dāng)c＞0或c＜-

中

27

a3時(shí)，8（x）在其定義域我上有她個零點(diǎn)；當(dāng)c=0或c=-

中

27

a3時(shí)，8（x）在其定義域我上有2個零點(diǎn)；當(dāng)-

中

27

a3＜c＜0時(shí)，8（x）在其定義域我上有3個零點(diǎn)．