Question

已知函數(shù)y=x²+

a

x

（a∈R）在x=1處的切線與直線2x-y+1=0平行，且此切線也是圓x²+y²+mx-（3m+1）y=0的切線，則m=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件可得a，求得切點(diǎn)，求出切線方程，求出圓的圓心和半徑，應(yīng)用直線與圓相切則d=r，由點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，解出m即可．

解答： 解：∵函數(shù)y=x²+

a

x

（a∈R）在x=1處的切線與直線2x-y+1=0平行，
∴f′（1）=2，
由于f′（x）=2x-

a

x2

，
即f′（1）=2-a=2，解得a=0，
函數(shù)y=x²，
則切點(diǎn)為（1，1），切線方程為：y-1=2（x-1），
即2x-y-1=0，
由于圓x²+y²+mx-（3m+1）y=0的圓心為（-

m

2

，

3m+1

2

），半徑為

m2+(3m+1)2

2

，
由直線與圓相切得，

|2×(- m 2 )- 3m+1 2 -1|

5

=

m2+(3m+1)2

2

，
化簡(jiǎn)，解得m=±

2

5

．
故答案為：±

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求切線方程，考查直線與圓相切的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．