Question

（2013•樂山二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，點(diǎn)M、N分別為BC、PA的中點(diǎn)，且PA=AB=2．
（1）證明：BC⊥面AMN；
（2）在線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得NM∥面ACE；若存在，求出PE的長，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD為含有60°角的菱形，證出△ABC為正三角形，從而得到BC⊥AM．由PA⊥平面ABCD，證出PA⊥BC，結(jié)合線面垂直的判定定理，證出BC⊥面AMN；
（2）取PD中點(diǎn)E，連結(jié)NE、EC、AE．利用三角形的中位線定理，結(jié)合菱形的性質(zhì)證出四邊形MNEC是平行四邊形，從而證出MN∥EC，根據(jù)線面平行的判定定理即可證出MN∥平面ACE．從而得到存在PD中點(diǎn)E使得NM∥面ACE，可得此時(shí)PE的長為

2

．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC
又∵∠ABC=60°，∴△ABC為正三角形，得AB=BC=CA
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BC⊥AM
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC
∵PA、AM是平面AMN內(nèi)的相交直線，∴BC⊥面AMN；
（2）線段PD上存在一點(diǎn)E，且當(dāng)E為PD中點(diǎn)時(shí)，有NM∥面ACE．
證明如下
取PD中點(diǎn)E，連結(jié)NE、EC、AE
∵△PAD中，N、E分別為PA、PD的中點(diǎn)，∴NE∥AD且NE=

1

2

AD
又∵菱形ABCD中，MC∥AD且MC=

1

2

AD
∴MC∥NE且MC=NE，可得四邊形MNEC是平行四邊形
∴MN∥EC，
∵M(jìn)N?平面ACE，EC?平面ACE，∴MN∥平面ACE
因此，存在PD中點(diǎn)E使得NM∥面ACE．此時(shí) PE=

1

2

PD=

2

．

點(diǎn)評：本題在四棱錐中證明線面垂直，并探索線面平行的存在性問題．著重考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)和空間線面平行與線面垂直的判定等知識，屬于中檔題．