Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1．
（1）證明{an+ }是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；
（2）證明： + +…+ ＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）證明： =3，

∵ ≠0，

∴數(shù)列{an+ }是以首項為 ，公比為3的等比數(shù)列；

∴an+ = = ，即 ；

（2）證明：由（1）知 ，

當n≥2時，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴ ＜ = ，

∴當n=1時， 成立，

當n≥2時， + +…+ ＜1+ …+ = = ＜ ．

∴對n∈N+時， + +…+ ＜ ．

【解析】（1）根據等比數(shù)列的定義，后一項與前一項的比是常數(shù)，即 =常數(shù)，又首項不為0，所以為等比數(shù)列；再根據等比數(shù)列的通項化式，求出{an}的通項公式；（2）將 進行放大，即將分母縮小，使得構成一個等比數(shù)列，從而求和，證明不等式．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項和(數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系)，還要掌握等比數(shù)列的基本性質({an}為等比數(shù)列，則下標成等差數(shù)列的對應項成等比數(shù)列;{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列== {an}是各項不為零的常數(shù)列)的相關知識才是答題的關鍵．