Question

函數(shù)f（x）=

(1-a2)x2+3(1-a)x+6

．若f（x）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：把函數(shù)的定義域?yàn)镽轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，然后對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0加以討論，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，利用二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象開口向上且與x軸至多有一個(gè)切點(diǎn)列不等式組求解．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=

(1-a2)x2+3(1-a)x+6

的定義域?yàn)镽，
∴對(duì)任意x∈R，（1-a²）x²+3（1-a）x+6≥0恒成立．
①當(dāng)1-a²=0，即a=±1時(shí)，
若a=1，f（x）=

6

，定義域?yàn)镽，符合題意；
若a=-1，f（x）=

6x+6

，定義域?yàn)閇-1，+∞），不合題意．
②當(dāng)1-a²≠0時(shí)，則g（x）=（1-a²）x²+3（1-a）x+6為二次函數(shù)．
由

1-a2＞0 △=9(1-a)2-24(1-a2)≤0

，
得

-1＜a＜1 (a-1)(11a+5)≤0

，
解得：-

5

11

≤a＜1．
由①②可得：-

5

11

≤a≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)定義域及其求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用“三個(gè)二次”結(jié)合求參數(shù)的范圍，是中檔題．