Question

設函數(shù)f(x)=

1

3

x3+nx2+(n2-1)x+

11

12

n的導函數(shù)在區(qū)間[n，+∞）上的最小值為a_n（n∈N^*）
（1）求a_n；
（2）設bn=

1

an2

，求數(shù)列b_n]的前n項的和S_n．

Answer 1

分析：（1）由題設得f'（x）=x²+2nx+（n²-1），在區(qū)間[n，+∞）上的最小值為

4n2-1

，由此可求出a_n；
（2）因為b_n=

1

a 2 n

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，所以Sn=

1

2

(1-

1

2n+1

)．

解答：解：（1）由f(x)=

1

3

x3+nx2+(n2-1)x+

11

12

n
得f'（x）=x²+2nx+（n²-1）
在區(qū)間[n，+∞）上的最小值為

4n2-1

，
∴a_n=

4n2-1

．
（2）因為b_n=

1

a 2 n

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要結合實際情況和數(shù)列的性質(zhì)耐心尋找突破口，準確地進行求解．