Question

過點（0，-

1

2

)的直線l與拋物線y=-x²交于A、B兩點，O為坐標原點，則

OA

•

OB

的值為（　�。�

• A．-

  1

  2

• B．-

  1

  4

• C．-4
• D．無法確定

Answer 1

分析：法一：根據(jù)拋物線的標準方程，當AB的斜率為0時，可得A，B，求得

OA

•

OB

的值，結合選擇題的特點，得出結論．
法二：由拋物線y=-x²與過其焦點（0，-

1

2

）的直線方程聯(lián)立，消去y整理成關于x的一元二次方程，設出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點坐標，

OA

• 

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂，由韋達定理可以求得答案．

解答：解：法一：當AB的斜率K=0時，可得A（-

2

2

，-

1

2

），B（

2

2

，-

1

2

）
∴

OA

•

OB

=（ -

2

2

，-

1

2

）•（

2

2

，-

1

2

）=-

1

2

+

1

4

=-

1

4

故選B
法二：，由題意可得直線AB的斜率存在
∴直線AB的方程為y=kx-

1

2

，
由

y=kx- 1 2 y=-x2

得x2+kx-

1

2

=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則 x₁+x₂=-k，x1x2=-

1

2

∴y₁•y₂=（kx₁-

1

2

）•（kx₂-

1

2

）=k²x₁•x₂-

1

2

k（x₁+x₂）+

1

4

=

1

4

∴

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=-

1

2

+

1

4

=-

1

4

故選B

點評：本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用，兩個向量的數(shù)量積公式，其中法一中，通過給變量取特殊值，檢驗所給的選項，是一種簡單有效的方法，在此類對于參數(shù)K取任意值時所研究的對象取值不變的前提下，應用特殊值法解決此類問題最有效，最直接，注意此方法的應用的原理．