Question

某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s．已知各觀測點到該中心的距離都是1020m．試確定該巨響發(fā)生的位置．（假定當時聲音傳播的速度為340m/s：相關各點均在同一平面上）

Answer 1

分析：以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標系．設A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（-1020，0），B（1020，0），C（0，1020），P（x，y）為巨響為生點，由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，依題意能求出雙曲線方程，從而確定該巨響發(fā)生的位置．

解答：解：如圖，
以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標系．設A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（-1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
設P（x，y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=-x，因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB|-|PA|=340×4=1360
由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
依題意得a=680，c=1020，∴b²=c²-a²=1020²-680²=5×340²
故雙曲線方程為

x2

6802

-

y2

5×3402

=1
用y=-x代入上式，得x=±680

5

，
∵|PB|＞|PA|，
∴x=-680

5

，y=680

5

，即P(-680

5

，680

5

)，故PO=680

10

答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北45⁰距中心680

10

m處．

點評：本題考查雙曲線的性質(zhì)和應用，解題時由題設條件作出圖形，數(shù)形結合效果很好．