Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|．
（1）解不等式f（x）+f（x+4）≤8；
（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求證：f（ab）＞|a|f（

b

a

）．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式

分析：（1）利用函數(shù)零點(diǎn)將絕對(duì)值去掉，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，分類討論解不等式；
（2）先利用已知函數(shù)將所證結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化變成|ab-1|＞|a-b|，再利用作差法先證|ab-1|²-|a-b|²＞0，再開方即可．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=

-2x-2，x＜-3 4，-3≤x≤1 2x+2，x＞1

，
當(dāng)x＜-3時(shí)，由-2x-2≥8，解得x≤-5；
當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，f（x）≤8不成立；
當(dāng)x＞1時(shí)，由2x+2≥8，解得x≥3．…（4分）
所以不等式f（x）≤4的解集為{x|x≤-5或x≥3}．…（5分）
（Ⅱ）f(ab)＞|a|f(

b

a

)即|ab-1|＞|a-b|．…（6分）
因?yàn)閨a|＜1，|b|＜1，
所以|ab-1|²-|a-b|²=（a²b²-2ab+1）-（a²-2ab+b²）=（a²-1）（b²-1）＞0，
所以|ab-1|＞|a-b|．
故所證不等式成立．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查解絕對(duì)值不等式和證明不等式，意在考查考生運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)分類討論的解題思想．