已知橢圓C：的短軸長等于焦距，橢圓C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)且斜率為(＞0)的直線與C交于兩點(diǎn)，是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，證明：三點(diǎn)共線．

 

【答案】

（1）（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立方程組即可利用利用兩個向量共線證明三點(diǎn)共線

【解析】

試題分析：（1）由題意：，得

所求橢圓的方程為：                                                        …4分

（2）設(shè)直線：，，，，，

由 消得：

所以                                                               …8分 

而，

∵＝

＝，

∴ . 又 有公共點(diǎn)   ∴三點(diǎn)共線．                         …14分

考點(diǎn)：本小題主要考查橢圓方程的求解和向量共線的應(yīng)用.

點(diǎn)評：證明三點(diǎn)共線，一般轉(zhuǎn)化為兩個兩個向量共線，而這又離不開直線方程和橢圓方程聯(lián)立方程組，運(yùn)算量比較大，要注意“舍而不求”思想的應(yīng)用.

 

練習(xí)冊系列答案
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（本小題滿分12分）

已知橢圓C：的短軸長為，且斜率為的直線過橢圓C的焦點(diǎn)及點(diǎn)。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知一直線過橢圓C的左焦點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)P、Q，

（ⅰ）若滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的面積；

（ⅱ）若直線與兩坐標(biāo)軸都不垂直，點(diǎn)M在軸上，且使為的一條角平分線，則稱點(diǎn)M為橢圓C的“左特征點(diǎn)”，求橢圓C的左特征點(diǎn)。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年山東省濟(jì)南市高三4月模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷 題型：解答題

已知橢圓C：的短軸長為，右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合， 為坐標(biāo)原點(diǎn)

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)、是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足，若，求直線AB的斜率的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

已知橢圓C：的短軸長為，右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合， 為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)、是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足，若，求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年福建省三明市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：的短軸長與焦距相等，且過定點(diǎn)，傾斜角為的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求直線l在y軸上截距的取值范圍；
（Ⅲ）求△ABP面積的最大值．

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