Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC，點(diǎn)E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求證：平面PAB⊥平面PCB；
（2）求證：PD∥平面EAC．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)PA⊥底面ABCD，得到PA⊥BC，結(jié)合AB⊥BC，可得BC⊥平面PAB．最后根據(jù)面面垂直的判定定理，可證出平面PAB⊥平面PCB．
（2）利用線面垂直的性質(zhì)，可得在直角梯形ABCD中AC⊥AD，根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合平行線分線段成比例，算出DC=2AB，從而得到△BPD中，PE：EB=DM：MB=2，所以PD∥EM，由線面平行的判定定理可得PD∥平面EAC．
解答：解：（1）∵PA⊥底面ABCD，BC⊆底面ABCD，∴PA⊥BC，
又∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．
∵BC?平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．
（2）∵PA⊥底面ABCD，∴AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影．
又∵PC⊥AD，∴AC⊥AD．         
在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得，
∴．
又∵AC⊥AD，故△DAC為等腰直角三角形．
∴．
連接BD，交AC于點(diǎn)M，則由AB∥CD得：．
在△BPD中，，所以PD∥EM
又∵PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．
點(diǎn)評(píng)：本題給出底面是直角梯形的四棱錐，求證線面平行和面面垂直，著重考查了空間線面平行的判定定理、線面垂直的判定與性質(zhì)和面面垂直的判定等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．