Question

已知對任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)f（x）和g（x）均滿足：-

π

2

＜f(x)+g(x)＜

π

2

，-

π

2

＜f(x)-g(x)＜

π

2

，證明：對任意實(shí)數(shù)x，不等式cosf（x）＞sing（x）恒成立．

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）和g（x）均滿足：-

π

2

＜f(x)+g(x)＜

π

2

，-

π

2

＜f(x)-g(x)＜

π

2

，利用不等式的性質(zhì)得出-

π

2

＜f(x)＜

π

2

-

π

2

＜g(x)＜

π

2

，再根據(jù)函數(shù)y=sinx的單調(diào)性，得sin（

π

2

-f(x)）＞sing（x），由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，即可得得證明．

解答：解：∵f（x）和g（x）均滿足：
-

π

2

＜f(x)+g(x)＜

π

2

，①
-

π

2

＜f(x)-g(x)＜

π

2

，②
由②得-

π

2

＜g(x)-f(x)＜

π

2

，③
①+②得：-

π

2

＜f(x)＜

π

2

，⇒0＜

π

2

-f(x)＜π，
①+③得：-

π

2

＜g(x)＜

π

2

，
由①得：g(x)＜

π

2

-f(x)，
根據(jù)函數(shù)y=sinx的單調(diào)性，得：
sin（

π

2

-f(x)）＞sing（x），
由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，得
cosf（x）＞sing（x）．

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．