Question

19．在直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：${ρ^2}=\frac{12}{{2+{{cos}^2}θ}}$，直線l：$2ρcos（θ-\frac{π}{6}）=\sqrt{3}$．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C的兩個交點分別為A、B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的直角坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}$x+y=$\sqrt{3}$，與y軸相交于（0，$\sqrt{3}$），即可得出：直線l的參數(shù)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入橢圓方程可得：3t²+8t-8=0，可得|AB|=|t₁-t₂|．

解答 解：（1）直線l的直角坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}$x+y=$\sqrt{3}$，與y軸相交于（0，$\sqrt{3}$），
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．          …（4分）
（2）曲線C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1，把直線l的參數(shù)方程代入橢圓方程可得：3t²+8t-8=0，
∴t₁+t₂=-$\frac{8}{3}$，t₁t₂=-$\frac{8}{3}$，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{\frac{64}{9}-4×（-\frac{8}{3}）}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$．                         …（10分）

點評 本題考查了直線與橢圓相交弦長問題、極坐標(biāo)的應(yīng)用、參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．