Question

如圖，在多面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側面與同一底面所成的二面角大小相等，側棱延長后相交于E，F(xiàn)兩點，上、下底面矩形的長、寬分別為c，d與a，b，且a＞c，b＞d，兩底面間的距離為h．
（Ⅰ）求側面ABB₁ A₁與底面ABCD所成二面角的大��；
（Ⅱ）證明：EF∥面ABCD．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）過B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，過B₁作B₁G⊥PQ，垂足為G，根據二面角平面角的定義可知∠B₁PG為所求二面角的平面角，過C₁作C₁H⊥PQ，垂足為H，根據相對側面與底面所成二面角的大小相等，得到四邊形B₁PQC₁為等腰梯形，在三角形B₁PG中求出此角即可．
（Ⅱ）欲證EF∥面ABCD，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與面ABCD內一直線平行即可，根據線面平行的判定定理可知AB∥面CDEF，而EF是面ABFE與面CDEF的交線，則AB∥EF，AB是平面ABCD內的一條直線，EF在平面ABCD外，滿足定理所需條件．
解答：解：（Ⅰ）過B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，
交底面于PQ，過B₁作B₁G⊥PQ，垂足為G．
∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，∠A₁B₁C₁=90°
∴AB⊥PQ，AB⊥B₁P．
∴∠B₁PG為所求二面角的平面角．
過C₁作C₁H⊥PQ，垂足為H．
由于相對側面與底面所成二面角的大小相等，
故四邊形B₁PQC₁為等腰梯形．
∴，
又B₁G=h，
∴，
∴，
即所求二面角的大小為．
（Ⅱ）證明：∵AB，CD是矩形ABCD的一組對邊，有AB∥CD，
又CD是面ABCD與面CDEF的交線，
∴AB∥面CDEF．
∵EF是面ABFE與面CDEF的交線，
∴AB∥EF．
∵AB是平面ABCD內的一條直線，EF在平面ABCD外，
∴EF∥面ABCD．
點評：本小題主要考查直線、平面的位置關系，考查二面角的度量的基本知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力．