Question

設(shè)函數(shù)

（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）若不等式（）在上恒成立，求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）的最大值為3.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值、恒成立問題等數(shù)學(xué)知識，考查綜合分析問題解決問題的能力和計算能力，考查函數(shù)思想和分類討論思想.第一問，首先求函數(shù)的定義域，利用為增函數(shù)，為減函數(shù)，通過求導(dǎo)，解不等式求出單調(diào)區(qū)間，注意單調(diào)區(qū)間必須在定義域內(nèi)；第二問，因為不等式恒成立，所以轉(zhuǎn)化表達(dá)式，此時就轉(zhuǎn)化成了求函數(shù)的最小值問題；法二，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為，即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，通過分類討論思想求函數(shù)的最小值，只需最小值大于0即可.

試題解析：（I）函數(shù)的定義域為.

由，得；由，得

所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為. 4分

（II）（解法一）由已知在上恒成立.

則,令

則，設(shè)

則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增. 6分

而

由零點存在定理，存在，使得，即，

又函數(shù)在單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.

從而當(dāng)時，；當(dāng)時，

所以在上的最小值

因此在上恒成立等價于 10分

由，知,所以的最大值為3. 12分

解法二：由題意

在上恒成立，

設(shè)

6分

1.當(dāng)時，則，∴單增，，即恒成立. 8分

2.當(dāng)時，則在單減，單增，

∴最小值為，只需即可，即， 10分

設(shè)

，單減，

則，，，

∴. 12分

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；3.恒成立問題.