Question

關于函數(shù)，有下面四個結論：①f（x）是偶函數(shù)；②當x＞2010時，恒成立；③f（x）的最大值是；④f（x）的最小值是．其中正確結論的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意：依次分析命題：①運用f（-x）和f（x）關系，判定函數(shù)的奇偶性；②取特殊值法，判定不等式是否成立；③④利用cos2x和（）^|x|，求函數(shù)f（x）的最值，綜合可得答案．
解答：解：y=f（x）的定義域為x∈R，且f（-x）=f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，因此結論①正確．
對于結論②，取特殊值當x=1000π時，x＞2010，cos2x=，且（ ）^1000π＞0
∴f（1000π）=-（ ）^1000π＜，因此結論②錯．
又，-1≤cos2x≤1，
∴-≤1-cos2x≤，（）^|x|＞0
故1-cos2x-（）^|x|＜，即結論③錯．
而cos2x，（）^|x|在x=0時同時取得最大值，
所以f（x）=1-cos2x-（）^|x|在x=0時可取得最小值-，即結論④是正確的．
故答案為：①④
點評：此題涉及到函數(shù)奇偶性的判斷，同時還涉及到三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的范圍問題，利用不等式的放縮求新函數(shù)的范圍．此題考查了函數(shù)奇偶性的判斷及借助不等式知識對函數(shù)值域范圍進行判斷．