Question

已知函數f（x）=x²-（2a+1）x+alnx（a＞0）
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數f（x）在[1，2]上總存在x₁，x₂，使得（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（I）函數y=f（x）的定義域為：（0，+∞）
因為f（x）=x²-（2a+1）x+alnx（a＞0）
所以f'（x）=2x-（2a+1）+

a

x

=

(2x-1)(x-a)

x

令f'（x）=0則x1=

1

2

，x₂=a
（i）當0＜a＜

1

2

時，由f'（x）＞0得x∈（0，a），（

1

2

，+∞）
由f'（x）＜0得，x∈（a，

1

2

）
所以函數f（x）的單調遞減區(qū)間是（a，

1

2

）
（ii）a=

1

2

時，f'（x）≥0
所以函數f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，+∞）
（iii）當a＞

1

2

時由f'（x）＞0得x∈（0，

1

2

），（a，+∞）
所以函數f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，

1

2

），（a，+∞）
由f'（x）＜0得x∈（

1

2

，a）
所以函數f（x）的單調遞減區(qū)間是（

1

2

，a）
（II）要使函數f（x）在[1，2]上總存在x₁，x₂，使得（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，即
函數f（x）在[1，2]上不是單調遞減函數．
由（I）可知，函數f（x）在[1，2]上單調遞減時，a∈[2，+∞）
所以a∈（0，2）時，函數f（x）在[1，2]上不是單調遞減函數．
所以函數f（x）在[1，2]上總存在x₁，x₂，使得（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，
實數a的取值范圍是（0，2）．