Question

（06年湖南卷）（14分）

如圖4, 已知兩個(gè)正四棱錐的高分別為1和2,

(Ⅰ) 證明:  ;     (Ⅱ) 求異面直線所成的角;

(Ⅲ) 求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

解析：解法一：（Ⅰ）．連結(jié)AC、BD，設(shè).由P－ABCD與Q－ABCD

都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.

從而P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD.

       

（II）由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以．由（I），平面，故可以分別以直線CA、DB、QP為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），

由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，

所以,,于是

從而異面直線AQ與PB所成的角是.

(Ⅲ)．由（Ⅱ），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，－，0），，          

，設(shè)是平面QAD的一個(gè)法向量，

由    得.

取x=1，得.　　所以點(diǎn)P到平面QAD的距離.

解法二：（Ⅰ）．取AD的中點(diǎn)M，連結(jié)PM，QM.因?yàn)镻－ABCD與Q－ABCD

都是正四棱錐，所以AD⊥PM，AD⊥QM. 從而AD⊥平面PQM.

又平面PQM，所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.

（Ⅱ）．連結(jié)AC、BD設(shè)，由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在

PQ上，從而P、A、Q、C四點(diǎn)共面.

取OC的中點(diǎn)N，連結(jié)PN．

因?yàn)?IMG height=44 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090331/20090331203314027.gif' width=159>，所以，

從而AQ∥PＮ.∠BPＮ（或其補(bǔ)角）是異面直線AQ

與PB所成的角.連接BN，

因?yàn)?IMG height=29 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090331/20090331203315029.gif' width=220>．

所以．

從而異面直線AQ與PB所成的角是．

(Ⅲ)．由（Ⅰ）知，AD⊥平面PＱM，所以平面PＱM⊥平面QAD. 過Ｐ作ＰＨ⊥ＱＭ

于Ｈ，則ＰＨ⊥平面QAD，所以ＰＨ的長(zhǎng)為點(diǎn)P到平面QAD的距離．

連結(jié)OM，則.所以，

又ＰＱ＝ＰＯ＋ＱＯ＝３，于是.

即點(diǎn)P到平面QAD的距離是.