Question

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1(n∈N*)．

(1)求a1，a2；

(2)猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式，并給出證明．

 

Answer 1

【解】　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，方程x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，

解得a1＝.當(dāng)n＝2時(shí)，方程x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，

－a2＝0，解得a2＝.

(2)由題意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，

當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得

SnSn－1－2Sn＋1＝0，

解得Sn＝.

由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.

猜想Sn＝(n∈N*)．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．

①當(dāng)n＝1時(shí)，結(jié)論成立．

②假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

即當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立．

由①②知Sn＝對(duì)任意的正整數(shù)n都成立．