Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

．
（1）求證在[1，+∞）是增函數(shù)．
（2）求證函數(shù)是奇函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，可證明f（x₁）-f（x₂）＜0，由函數(shù)的單調(diào)性可得；
（2）可知定義域為{x|x≠0}，可得f（-x）=-f（x），由函數(shù)奇偶性的定義可得．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-（x2+

1

x2

）
=x₁-x₂+

1

x1

-

1

x2

=x₁-x₂+

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）=（x₁-x₂）

x1x2-1

x1x2

，
∵x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，
∴（x₁-x₂）

x1x2-1

x1x2

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）=x+

1

x

在[1，+∞）是增函數(shù)；
（2）∵f（x）=x+

1

x

的定義域為{x|x≠0}，
∴f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x）
∴函數(shù)f（x）=x+

1

x

是奇函數(shù)

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷，涉及定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．