Question

若二項(xiàng)式(

x

+

2

3 x

)n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是80，則該展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于

 

．

Answer 1

分析：在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于80求得實(shí)數(shù)n的值，從而求得展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和2ⁿ 的值．

解答：解：二項(xiàng)式(

x

+

2

3 x

)n的展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r n

•x

n-r

2

•2^r•x-

r

3

=2^r•

C

r n

•x

3n-5r

6

，
令

3n-5r

6

=0，可得 3n=5r
，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為 2^r•

C

r n

=2

3n

5

•

C

3n 5 n

=80，
解得n=5，
故該展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于 2ⁿ=32，
故答案為：32．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．