Question

某游樂場將要舉行狙擊移動靶比賽．比賽規(guī)則是：每位選手可以選擇在A區(qū)射擊3次或選擇在B區(qū)射擊2次，在A區(qū)每射中一次得3分，射不中得0分； 在B區(qū)每射中一次得2分，射不中得0分．已知參賽選手甲在A區(qū)和B區(qū)每次射中移動靶的概率分別是和p（0＜p＜1）．
（Ⅰ） 若選手甲在A區(qū)射擊，求選手甲至少得3分的概率；
（Ⅱ） 我們把在A、B兩區(qū)射擊得分的數(shù)學(xué)期望高者作為選擇射擊區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)，如果選手甲最終選擇了在B區(qū)射擊，求p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)“選手甲在A區(qū)射擊得0分”為事件M，“選手甲在A區(qū)射擊至少得（3分）”為事件N，由事件M與事件N為對立事件，能求出選手甲至少得3分的概率．
（Ⅱ） 設(shè)選手甲在A區(qū)射擊的得分為ξ，則ξ的可能取值為0，3，6，9．分別求出期概率，由此能求出ξ的數(shù)學(xué)期望．設(shè)選手甲在B區(qū)射擊的得分為η，則η的可能取值為0，2，4．分別求出其概率，由此能求出η的數(shù)學(xué)期望，由此能夠求出p的取值范圍．
解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設(shè)“選手甲在A區(qū)射擊得0分”為事件M，“選手甲在A區(qū)射擊至少得（3分）”為事件N，
則事件M與事件N為對立事件，
…（2分）
…（4分）
（Ⅱ） 設(shè)選手甲在A區(qū)射擊的得分為ξ，
則ξ的可能取值為0，3，6，9.；
；
；
 

ξ		3	6	9
P

所以ξ的分布列為∴
設(shè)選手甲在B區(qū)射擊的得分為η，
則η的可能取值為0，2，4．P（η=0）=（1-p）²；
；
P（η=4）=p²
所以η的分布列為

η		2	4
P	（1-p）2	2p（1-p）	p2

∴Eη=0×（1-p）²+2•2p（1-p）+4•p²=4p
根據(jù)題意，有  Eη＞Eξ，
∴，
∴…（13分）
點(diǎn)評：本題考查離散隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題型之一．解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識和概率知識的靈活運(yùn)用．