Question

（本題滿(mǎn)分14分）
如圖，在底面是正方形的四棱錐中，面，交于點(diǎn)，是中點(diǎn)，為上一點(diǎn)．
⑴求證：；
⑵確定點(diǎn)在線(xiàn)段上的位置，使//平面，并說(shuō)明理由．
⑶當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求與底面所成角的正切值．

Answer 1

⑴見(jiàn)解析；⑵當(dāng)為中點(diǎn)，即時(shí)，平面；
（3）．

本試題主要是考查了空間立體幾何中點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。
（1）利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理，得到線(xiàn)線(xiàn)垂直的判定。
（2）要使平面，只需，只要建立直角坐標(biāo)系，解得。
（3）作于，連結(jié)，∵面，四邊形是正方形，∴，又∵，，∴，∴，且，
∴是二面角的平面角，那么利用直角三角形得到。
⑴∵面，四邊形是正方形，其對(duì)角線(xiàn)，交于點(diǎn)，
∴，．
∴平面，
∵平面，
∴                    
⑵當(dāng)為中點(diǎn)，即時(shí)，平面，理由如下：
連結(jié)，由為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，知，
而平面，平面，
故平面．
⑶作于，連結(jié)，
∵面，四邊形是正方形，
∴，
又∵，，∴，
∴，且，
∴是二面角的平面角，
即，
∵⊥面，∴就是與底面所成的角
連結(jié)，則，，
∴，
∴，∴，
∴
∴與底面所成角的正切值是．
另解：以為原點(diǎn)，、、所在的直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，，，，，，．（以下略）