Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)f（x）在點x=1處的切線方程及f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）欲求在點x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，從而問題解決．
（2）類似與（1）中的方法，先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，求出極值即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=-1時，f(x)=x2+lnx，f′(x)=2x+

1

x

，（1分）
∴f'（1）=3．
函數(shù)f（x）在點x=1處的切線方程為y-1=3（x-1），即y=3x-2（3分）
當(dāng)x＞0時，f′(x)=2x+

1

x

＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
而f（x）的定義域為（0，+∞），則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），不存在遞減區(qū)間．（5分）
（2）函數(shù)f（x）=x²-alnx（a∈R）的定義域為（0，+∞），f′(x)=2x-

a

x

，（6分）
①當(dāng)a≤0時，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；函數(shù)f（x）無極值（8分）
②當(dāng)a＞0時，由f'（x）＞0，得x＞

2a

2

，（9分）
由f'（x）＜0，得0＜x＜

2a

2

，（10分）
∴當(dāng)x=

2a

2

時，f（x）有極小值f(

2a

2

)=

1

2

a(1-lna+ln2)（11分）
綜上，當(dāng)a≤0時，f（x）無極值；當(dāng)a＞0時，f（x）有極小值

1

2

a(1-lna+ln2)，無極大值（12分）

點評：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力及分類討論思想．屬于基礎(chǔ)題．