Question

（2007•長寧區(qū)一模）設直線l的方程為y=kx-1，等軸雙曲線C：x²-y²=a²（a＞0）的中心在原點，右焦點坐標為（ 

2

，0）．
（1）求雙曲線方程；
（2）設直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點A，B，記AB中點為M，求k的取值范圍，并用k表示M點的坐標．
（3）設點Q（-1，0），求直線QM在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由右焦點坐標為（ 

2

，0），可求出c的值，又因為等軸雙曲線中a，b相等，利用雙曲線中a，b，c的關系，就可求出a值，的到雙曲線方程．
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，因為直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點A，B，所以方程有兩不同正根，△＞0，x₁+x₂＞0，x₁x₂＞0，據(jù)此就可求出k的范圍．并用含k的式子表示M點坐標．
（3）利用兩點式求出直線QM的方程，求出縱截距，用含k的式子表示，根據(jù)（2）中所求k的范圍，即可得到縱截距的范圍．

解答：解：（1）由條件c=

2

，∵c²=a²+b²=2a²，∴a=1，
所以雙曲線方程為x²-y²=1．                    
（2）由

y=kx-1 x2-y2=1

得（1-k²）x²+2kx-2=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因此

1-k2≠0 △=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＞0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

解得

1＜k2＜2 k＞0

，因此k∈（1，

2

）
并且

x1+x2

2

=

k

k2-1

∴

y1+y2

2

=k•

k

k2-1

-1=

1

k2-1

，
所以M(

k

k2-1

，

1

k2-1

)．                            
（3）直線MQ的方程為y=

1 k2-1

k k2-1 +1

(x+1)，
令x=0，得y=

1

k2+k-1

=

1

(k+ 1 2 )2- 5 4

，
∵k∈(1，

2

)∴(k+

1

2

)2-

5

4

∈(1，

2

+1)，∴y∈(

2

-1，1)

點評：本題主要考查了雙曲線方程的求法，以及直線與雙曲線相交，交點個數(shù)的判斷．