Question

某幼兒園準(zhǔn)備建一個(gè)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤的外圍是一個(gè)周長(zhǎng)k米的圓．在這個(gè)圓上安裝座位，且每個(gè)座位和圓心處的支點(diǎn)都有一根直的鋼管相連，經(jīng)預(yù)算，轉(zhuǎn)盤上的每個(gè)座位與支點(diǎn)相連鋼管的費(fèi)用為3k元/根，且當(dāng)兩相鄰的座位之間的圓弧長(zhǎng)為x米時(shí)，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個(gè)座位的總費(fèi)用為[2+]k元，假設(shè)座位等距離分布，且至少有兩個(gè)座位，所有座位都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記轉(zhuǎn)盤的總造價(jià)為y元．
（1）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（2）當(dāng)k=50米時(shí)，試確定座位的個(gè)數(shù)，使得總造價(jià)最低．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，總造價(jià)y中包括座位和圓心處的支點(diǎn)間的鋼管的費(fèi)用，相鄰座位之間的鋼管與座位的費(fèi)用，故只需算出座位的個(gè)數(shù)即知鋼管的個(gè)數(shù)，將兩項(xiàng)費(fèi)用表示出來，相加即得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將k=50米代入函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值即得最低的總造價(jià)．
解答：解：（1）設(shè)轉(zhuǎn)盤上總共有n個(gè)座位，則x=，即n=，
∴y=+[2+]，定義域?yàn)閧x|0＜x≤，}．
故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=+[2+]，定義域{x|0＜x≤，}．（6分）
（2）令y=f（x）=k²（ +），
則f′（x）==0，
當(dāng)k=50時(shí)，∴x=，（10分）
當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f′（x）＜0，即f（x）在x∈（0，）上單調(diào)減，
當(dāng)x∈（ ，25）時(shí)，f′（x）＞0，即f（x）在x∈（ ，25）上單調(diào)增，
y_min在x=時(shí)取到，此時(shí)座位個(gè)數(shù)為 =32個(gè)．（15分）
答：當(dāng)座位的個(gè)數(shù)為32時(shí)，使得總造價(jià)最低．
點(diǎn)評(píng)：本題是常見的利用導(dǎo)數(shù)解決現(xiàn)實(shí)中造價(jià)最優(yōu)的一個(gè)應(yīng)用題，審題與構(gòu)造函數(shù)是重點(diǎn)，在求最值時(shí)要根據(jù)函數(shù)的形式選擇合適的方法．