【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2﹣2ax+b+1(a>0)在區(qū)間[2,3]上有最大值4,最小值1.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)g(x)= .若不等式g(2x)﹣k2x≥0對任意x∈[1,2]恒成立,求k的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)∵二次函數(shù)f(x)=ax2﹣2ax+b+1(a>0),
∴f(x)=a(x﹣1)2﹣a+1+b,
∴函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸方程為x=1,
∵a>0,∴f(x)=a(x﹣1)2﹣a+1+b在區(qū)間[2,3]上遞增.
∵二次函數(shù)f(x)=ax2﹣2ax+b+1(a>0)在區(qū)間[2,3]上有最大值4,最小值1,
∴依題意得 ,解得 ,
∴f(x)=x2﹣2x+1.…6 分
(Ⅱ)∵g(x)= ,∴g(x)= =x+ ,
∵不等式g(2x)﹣k2x≥0對任意x∈[1,2]恒成立,
∴ 對任意x∈[1,2]時恒成立,
∴k≤( )2﹣2( )+1對任意x∈[1,2]時恒成立
只需k≤[( )2﹣2( )+1]min ,
令t= ,由x∈[1,2],得t∈[ ],
設(shè)h(t)=t2﹣2t+1,
∵h(t)=t2﹣2t+1=(t﹣1)2 ,
當t= ,即x=1時,h(t)取得最小值 .
∴k≤h(t)min=h( )= .
∴k的取值范圍為(﹣∞, ]
【解析】(Ⅰ)f(x)=a(x﹣1)2﹣a+1+br 對稱軸方程為x=1,在區(qū)間[2,3]上遞增,由此列出方程組能求出a,b,從而能求出f(x)的解析式.(Ⅱ)由g(x)= =x+ ,得 對任意x∈[1,2]時恒成立,從而只需k≤[( )2﹣2( )+1]min , 由此能求出k的取值范圍.
【考點精析】認真審題,首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)= ,g(x)= .
(1)當1≤x<2時,求g(x);
(2)當x∈R時,求g(x)的解析式,并畫出其圖象;
(3)求方程xf[g(x)]=2g[f(x)]的解.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}為單調(diào)遞減的等差數(shù)列,a1+a2+a3=21,且a1﹣1,a2﹣3,a3﹣3成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=|an|,求數(shù)列{bn}的前項n和Tn .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= + 的圖象關(guān)于y軸對稱,且a>0.
(1)求a的值;
(2)求f(x)在[0,2]的值域.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= (x>0),數(shù)列{an}滿足 (n∈N* , 且n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+(﹣1)n﹣1anan+1 , 若Tn≥tn2對n∈N*恒成立,求實數(shù)t的取值范圍;
(3)是否存在以a1為首項,公比為q(0<q<5,q∈N*)的數(shù)列{a },k∈N* , 使得數(shù)列{a }中每一項都是數(shù)列{an}中不同的項,若存在,求出所有滿足條件的數(shù)列{nk}的通項公式;若不存在,說明理由.
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【題目】已知函數(shù) ,x∈[3,5].
(1)利用定義證明函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.
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【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sin2C= cosC,其中C為銳角.
(1)求角C的大;
(2)a=1,b=4,求邊c的長.
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【題目】某地區(qū)上年度電價為0.8元/kWh,年用電量為akWh,本年度計劃將電價降到0.55 元/kWh至0.75元/kWh之間,而用戶期待電價為0.4元/kWh,下調(diào)電價后新增加的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比(比例系數(shù)為K),該地區(qū)的電力成本為0.3元/kWh.(注:收益=實際用電量×(實際電價﹣成本價)),示例:若實際電價為0.6元/kWh,則下調(diào)電價后新增加的用電量為 元/kWh)
(1)寫出本年度電價下調(diào)后,電力部門的收益y與實際電價x的函數(shù)關(guān)系;
(2)設(shè)K=0.2a,當電價最低為多少仍可保證電力部門的收益比上一年至少增長20%?
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|,g(x)=x2+2ax+1(a為正常數(shù)),且函數(shù)f(x)和g(x)的圖象與y軸的交點重合.
(1)求a實數(shù)的值
(2)若h(x)=f(x)+b (b為常數(shù))試討論函數(shù)h(x)的奇偶性;
(3)若關(guān)于x的不等式f(x)﹣2 >a有解,求實數(shù)a的取值范圍.
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