Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+a²（a，b∈R）
（1）若函數f（x）在x=1處有極值為10，求b的值；
（2）若對任意a∈[-4，+∞），f（x）在x∈[0，2]上單調遞增，求b的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數求導f'（x）=3x²+2ax+b，由題意可得f（1）=10，f′（1）=0，結合導數存在的條件可求
（2）解法一：f'（x）=3x²+2ax+b≥0對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，構造關于a的函數F（a）=2xa+3x²+b≥0對任意a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，結合函數單調性可得F（a）_min=F（-4）從而有b≥（-3x²+8x）_max，
解法二：f'（x）=3x²+2ax+b≥0對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥-3x²-2ax對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥（-3x²-2ax）_max．構造函數，結合二次函數的性質進行求解函數F（x）的最大值
解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+bk*s*5*u
則…（5分）
當時，f'（x）=3x²+8x-11，△=64+132＞0，所以函數有極值點；
當，所以函數無極值點；
則b的值為-11．…（7分）
（2）解法一：f'（x）=3x²+2ax+b≥0對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立
則F（a）=2xa+3x²+b≥0對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立∵x≥0，F（a）在a∈[-4，+∞）單調遞增或為常數函數
所以得F（a）_min=F（-4）=-8x+3x²+b≥0對任意的x∈[0，2]恒成立，
即b≥（-3x²+8x）_max，又，當時，得，所以 b的最小值為． …（15分）
解法二：f'（x）=3x²+2ax+b≥0對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立
即b≥-3x²-2ax對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，
即b≥（-3x²-2ax）_max．令
①當a≥0時，F（x）_max=0，∴b≥0；
②當．
又∵，∴．
綜上，b的最小值為．…（15分）
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，利用構造函數的思想把恒成立轉化為求解函數的最值問題，要注意構造思想在解題中的應用．