Question

已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的正數(shù)x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足f（S_n+2）-f（a_n）=f（3）（n∈N^*），則a₃=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得S_n+2=3a_n，從而推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}是一個(gè)以1為首項(xiàng)，以

3

2

為公比的等比數(shù)列，由此能求出a₃．

解答： 解：∵對(duì)任意的正數(shù)x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），
∵f（S_n+2）-f（a_n）=f（3），
∴f（S_n+2）=f（3）+f（a_n）=f（3•a_n）
又∵函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
∴S_n+2=3a_n…①
當(dāng)n=1時(shí)，S₁+2=a₁+2=3a₁，解得a_n=1
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+2=3a_n-1…②
①-②得：a_n=3a_n-3a_n-1
即

an

an-1

=

3

2

，
∴數(shù)列{a_n}是一個(gè)以1為首項(xiàng)，以

3

2

為公比的等比數(shù)列，
∴a₃=（

3

2

）²=

9

4

．
故答案為：

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的第三項(xiàng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意抽象函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．