Question

如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形,為直角梯形，且 = = 90°，平面平面，,

(1)若為的中點(diǎn)，求證:平面；
(2)求平面與平面所成銳二面角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）連結(jié),交與,連結(jié)，
中，分別為兩腰的中點(diǎn) , 確定. 
得到平面. 
（Ⅱ），.

試題分析：（Ⅰ）證明：連結(jié),交與,連結(jié)，
中，分別為兩腰的中點(diǎn) ,     ∴.   2分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824012635802552.png" style="vertical-align:middle;" />面,又面，所以平面.      4分
（Ⅱ）解：設(shè)平面與所成銳二面角的大小為，以為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
，.
設(shè)平面的單位法向量為則可設(shè).            7分

設(shè)面的法向量，應(yīng)有

即：
解得：，所以 .           10分
，.           12分
點(diǎn)評：中檔題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，本題利用空間向量簡化了證明過程。