Question

如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意的x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，那么就稱函數(shù)f（x）是定義域上的“平緩函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=x²-x，x∈[0，1]是否是“平緩函數(shù)”；
（2）若函數(shù)f（x）是閉區(qū)間[0，1]上的“平緩函數(shù)”，且f（0）=f（1）．證明：對于任意
的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

1

2

成立．
（3）設(shè)a、m為實(shí)常數(shù)，m＞0．若f（x）=alnx是區(qū)間[m，+∞）上的“平緩函數(shù)”，試估計(jì)a的取值范圍（用m表示，不必證明）．

Answer 1

分析：新定義函數(shù)類型的題目，解答時(shí)要先充分理解定義才能答題，對于（1）只需按照定義作差：|f（x₁）-f（x₂）|，
然后尋求條件：|x₁+x₂-1|≤1．
（2）的解答稍微復(fù)雜一些，此處除了用到放縮外，還有添項(xiàng)減項(xiàng)的技巧應(yīng)用即對已知條件f（0）=f（1）的充分利用．
（3）的解答雖有難度，但是不要求證明，難度大大降低，此處可先取定一個(gè)m值利用圖形的直觀性將不難尋求到a的取值范圍．

解答：證明：（1）對于任意的x₁，x₂∈[0，1]，
      有-1≤x₁+x₂-1≤1，|x₁+x₂-1|≤1．（2分）
      從而|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁²-x₁）-（x₂²-x₂）|=|x₁-x₂||x₁+x₂-1|≤|x₁-x₂|．
∴函數(shù)f（x）=x²-x，x∈[0，1]是“平緩函數(shù)”．（4分）
（2）當(dāng)|x₁-x₂|＜

1

2

時(shí)，由已知得|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|＜

1

2

；（6分）
     當(dāng)|x₁-x₂|≥

1

2

時(shí)，因?yàn)閤₁，x₂∈[0，1]，不妨設(shè)0≤x₁＜x₂≤1，其中x₁-x₂≤-

1

2

，
     因?yàn)閒（0）=f（1），所以：
|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（1）-f（x₂）|≤|f（x₁）-f（0）|+|f（1）-f（x₂）|≤|x₁-0|+|1-x₂|=x₁-x₂+1≤-

1

2

+1=

1

2

．
    故對于任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

1

2

成立．（10分）
（3）結(jié)合函數(shù)f（x）=alnx的圖象性質(zhì)及其在點(diǎn)x=m處的切線斜率，估計(jì)a的取值范圍是閉區(qū)間[-m，m]．（注：只需直
     接給出正確結(jié)論）（14分）

點(diǎn)評：本題抽象函數(shù)、新定義函數(shù)類型的概念，不等式的性質(zhì)，放縮法的技巧，對于新定義類型問題，在解答時(shí)要先充分理解定義才能答題，避免盲目下筆，遇到困難才來重頭讀題，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，另外要在充分抓住定義的基礎(chǔ)上，對式子的處理要靈活，各個(gè)式子的內(nèi)在聯(lián)系要充分挖掘出來，可現(xiàn)有結(jié)論向上追溯，看看需要哪些條件才能得出結(jié)果，再來尋求轉(zhuǎn)化取得這些條件．