Question

已知常數(shù)，向量，經(jīng)過定點(diǎn)以為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)以為方向向量的直線相交于，其中，

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若，過的直線交曲線于兩點(diǎn)，求的取值范圍。

 

Answer 1

（I）；（II）

【解析】

試題分析：（I）利用向量共線定理和坐標(biāo)運(yùn)算即可得出；

（II）對(duì)直線的斜率分類討論，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y=kx+1與雙曲線的方程聯(lián)立，即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量的數(shù)量積和對(duì)k分類討論即可得出．

試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則

，

又，，

，

又因?yàn)橄蛄?/span>與向量平行，所以

向量與向量平行，所以，兩式聯(lián)立消去得的軌跡方程為，即。

（2）因?yàn)?/span>，所以的軌跡的方程為，

此時(shí)點(diǎn)為雙曲線的焦點(diǎn)。

（I）若直線的斜率不存在，其方程為，

與雙曲線的兩焦點(diǎn)為，

此時(shí)

（II）若直線的斜率存在，設(shè)其方程為，

由，設(shè)交點(diǎn)為

，則，

當(dāng)時(shí)，，；

當(dāng)或時(shí)，，；

綜上可知，的取值范圍是。

考點(diǎn)：（1）圓錐曲線的綜合應(yīng)用；（2）向量在解析幾何中的應(yīng)用.