已知函數(shù)f（x）=
px2+2
3x+q
是奇函數(shù)，且f（2）=
5
3

（Ⅰ）求p，q的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上的單調(diào)性，并應(yīng)用單調(diào)性的定義加以證明．
分析：（Ⅰ）由題意可得f（-x）+f（x）=0，求得q的值．再由f（2）=
5
3
=
p•22+2
6+0
，求得p的值．
（Ⅱ）由上可得，f（x）=
2
3
（x+
1
x
），函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得f（-x）+f（x）=0，即
px2+2
q-3x
+
px2+2
q+3x
=0，求得 q=0．
再由f（2）=
5
3
=
p•22+2
6+0
，解得 p=2．
綜上可得，p=2，q=0．
（Ⅱ）由上可得，f（x）=
2x2+2
3x
=
2
3
（x+
1
x
），函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)．
證明：設(shè)x1＜x2＜-1，則f（x1）-f（x2）=
2
3
[（x1+
1
x1
）-（x2+
1
x2
）]=
2
3
（x1-x2）（
x1•x2-1
x1•x2
）．
由題設(shè)可得 （x1-x2）＜0，x1•x2＞1，故有f（x1）-f（x2）＜0，
故函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
23
x3-2ax2+3x（x∈R）．
（1）若a=1，點(diǎn)P為曲線y=f（x）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線斜率取最小值時(shí)的切線方程；
（2）若函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，試求滿足條件的最大整數(shù)a．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：兩個(gè)連續(xù)函數(shù)（圖象不間斷）f（x）、g（x）在區(qū)間[a，b]上都有意義，則稱函數(shù)|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a，b]上的“絕對(duì)和”．已知函數(shù)f（x）=x3，g（x）=x3-3ax2+2．
（Ⅰ）若函數(shù)y=g（x）在點(diǎn)P（1，g（1））處的切線與直線y=x+2平行，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下求漢順f（x）與g（x）在區(qū)間[0，2]上的“絕對(duì)值”
（Ⅲ）記f（x）與g（x）在區(qū)間[0，2]上的“絕對(duì)和”為h(a)，a＞
32
，且h（a）=2，試求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+c（a，b，c∈R，a≠0）的圖象過點(diǎn)P（ 1，2），且在點(diǎn)P處的切線與直線x-3y=0垂直．
（1）若c∈[0，1），試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞0，b＞0且（-∞，m），（n，+∞）是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，試求n-m-2c的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•河北模擬）已知函數(shù)f（x）=alnx-bx2的圖象上一點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為y=-3x+2ln2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-mx，m∈R，如果g（x）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），（x1＜x2），AB中點(diǎn)為C（x0，0），求證：g′（x0）≠0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二階矩陣M=（
a1
0b
）有特征值λ1=2及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量
e
1=
1
1
．
（Ⅰ）求矩陣M；
（II）若
a
=
2
1
，求M10
a
．
（2）已知直線l：
x=1+
1
2
t
y=
3
2
t
（t為參數(shù)），曲線C1：
x=cosθ
y=sinθ
  （θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）設(shè)l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲線C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的
1
2
倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的
3
2
倍，得到曲線C2C，設(shè)點(diǎn)P是曲線C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．
（3）已知函數(shù)f（x）=log2（|x+1|+|x-2|-m）．
（Ⅰ）當(dāng)m=5時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范圍．

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