Question

已知定義在R奇函數(shù)f（x）=

2x-a

2x+b

．
（1）求a、b的值；
（2）判斷并證明f（x）在R上的單調性；
（3）求該函數(shù)的值域．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)題意得出

f(0)=0 f(-1)=f(1)

可求a，b的值，
（2）運用定義得出f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x2+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，根據(jù)y=2^x是R上的增函數(shù)，判斷因式的符號，即可得出單調性．

解答： 解：（1）因為f（x是R上的奇函數(shù)，
所以

f(0)=0 f(-1)=f(1)

，即

1-a 1+b =0 1 2 -a 1 2 +b =- 2-a 2+b

，
解得

a=1 b=1

；
（2）由（1）知f（x）=

2x-1

2x+1

，設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x2+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

因為y=2^x是R上的增函數(shù)，且x₁＜x₂，所以2 xx-2x2＜0，又（2 x1+1）（2 x2+1）＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
由2^x＞0，得2^x+1＞1，所以0＜

2

2x+1

＜2，所以-1＜1-

2

2x+1

＜1，即-1＜＜1，
所以函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）．

點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質，運用定義判斷函數(shù)的單調性，關鍵是分解因式，判斷因式的符號．