如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點(diǎn),若存在過點(diǎn)P的直線與都有公共點(diǎn),則稱P為“C1—C2型點(diǎn)”.
(1)在正確證明的左焦點(diǎn)是“C1—C2型點(diǎn)”時(shí),要使用一條過該焦點(diǎn)的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗(yàn)證);
(2)設(shè)直線與有公共點(diǎn),求證,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1—C2型點(diǎn)”;
(3)求證:圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1—C2型點(diǎn)”.
(1) C1的左焦點(diǎn)為“C1-C2型點(diǎn)”,且直線可以為;
(2)直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點(diǎn),即原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”.
(3)直線若與圓內(nèi)有交點(diǎn),則不可能同時(shí)與曲線C1和C2有交點(diǎn),
即圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)”.
【解析】
試題分析:
思路分析:(1)緊扣“C1-C2型點(diǎn)”的定義,確定C1的左焦點(diǎn)為“C1-C2型點(diǎn)”,且直線可以為;
(2)通過研究直線與C2有交點(diǎn)的條件,分別得到和 ,不可能同時(shí)成立,得到結(jié)論:直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點(diǎn),即原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”.
(3)顯然過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線若與曲線C1有交點(diǎn),則斜率必存在;
根據(jù)對(duì)稱性,不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點(diǎn),則
根據(jù)直線與圓內(nèi)部有交點(diǎn),得到
化簡(jiǎn)得,............①
再根據(jù)直線與曲線C1有交點(diǎn), 由方程組
化簡(jiǎn)得,.....②
由①②得,
但此時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100100464583995715/SYS201310010048151761182157_DA.files/image014.png">,即①式不成立;
當(dāng)時(shí),①式也不成立 ,得出結(jié)論。
解:(1)C1的左焦點(diǎn)為,過F的直線與C1交于,與C2交于,故C1的左焦點(diǎn)為“C1-C2型點(diǎn)”,且直線可以為;
(2)直線與C2有交點(diǎn),
則,若方程組有解,則必須;
直線與C2有交點(diǎn),則
,若方程組有解,則必須
故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點(diǎn),即原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”.
(3)顯然過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線若與曲線C1有交點(diǎn),則斜率必存在;
根據(jù)對(duì)稱性,不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點(diǎn),則
直線與圓內(nèi)部有交點(diǎn),故
化簡(jiǎn)得,............①
若直線與曲線C1有交點(diǎn),則
化簡(jiǎn)得,.....②
由①②得,
但此時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100100464583995715/SYS201310010048151761182157_DA.files/image014.png">,即①式不成立;
當(dāng)時(shí),①式也不成立
綜上,直線若與圓內(nèi)有交點(diǎn),則不可能同時(shí)與曲線C1和C2有交點(diǎn),
即圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)”.
考點(diǎn):新定義問題,直線與圓的位置關(guān)系,直線與雙曲線的位置關(guān)系,一元二次不等式的解法。
點(diǎn)評(píng):難題,本題綜合性較強(qiáng),綜合考查直線與圓、雙曲線的位置關(guān)系以及不等式問題。從思路方面講,要緊扣“C1-C2型點(diǎn)”的定義,研究方程組解的情況。
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A、
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B、
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D、
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
7 | 9 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:0103 模擬題 題型:解答題
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