如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點(diǎn),若存在過點(diǎn)P的直線與都有公共點(diǎn),則稱P為“C1—C2型點(diǎn)”.

(1)在正確證明的左焦點(diǎn)是“C1—C2型點(diǎn)”時(shí),要使用一條過該焦點(diǎn)的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗(yàn)證);

(2)設(shè)直線有公共點(diǎn),求證,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1—C2型點(diǎn)”;

(3)求證:圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1—C2型點(diǎn)”.

 

【答案】

 (1) C1的左焦點(diǎn)為“C1-C2型點(diǎn)”,且直線可以為;

(2)直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點(diǎn),即原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”.

(3)直線若與圓內(nèi)有交點(diǎn),則不可能同時(shí)與曲線C1和C2有交點(diǎn),

即圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)”.

【解析】

試題分析:

思路分析:(1)緊扣“C1-C2型點(diǎn)”的定義,確定C1的左焦點(diǎn)為“C1-C2型點(diǎn)”,且直線可以為;

(2)通過研究直線與C2有交點(diǎn)的條件,分別得到 ,不可能同時(shí)成立,得到結(jié)論:直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點(diǎn),即原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”.

(3)顯然過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線若與曲線C1有交點(diǎn),則斜率必存在;

根據(jù)對(duì)稱性,不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點(diǎn),則

 

根據(jù)直線與圓內(nèi)部有交點(diǎn),得到 

化簡(jiǎn)得,............①

再根據(jù)直線與曲線C1有交點(diǎn), 由方程組

 

化簡(jiǎn)得,.....②

由①②得, 

但此時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100100464583995715/SYS201310010048151761182157_DA.files/image014.png">,即①式不成立;

當(dāng)時(shí),①式也不成立 ,得出結(jié)論。

解:(1)C1的左焦點(diǎn)為,過F的直線與C1交于,與C2交于,故C1的左焦點(diǎn)為“C1-C2型點(diǎn)”,且直線可以為;

(2)直線與C2有交點(diǎn),

,若方程組有解,則必須;

直線與C2有交點(diǎn),則

,若方程組有解,則必須 

故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點(diǎn),即原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”.

(3)顯然過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線若與曲線C1有交點(diǎn),則斜率必存在;

根據(jù)對(duì)稱性,不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點(diǎn),則

 

直線與圓內(nèi)部有交點(diǎn),故 

化簡(jiǎn)得,............①

若直線與曲線C1有交點(diǎn),則

 

 

化簡(jiǎn)得,.....②

由①②得, 

但此時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100100464583995715/SYS201310010048151761182157_DA.files/image014.png">,即①式不成立;

當(dāng)時(shí),①式也不成立

綜上,直線若與圓內(nèi)有交點(diǎn),則不可能同時(shí)與曲線C1和C2有交點(diǎn),

即圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)”.

考點(diǎn):新定義問題,直線與圓的位置關(guān)系,直線與雙曲線的位置關(guān)系,一元二次不等式的解法。

點(diǎn)評(píng):難題,本題綜合性較強(qiáng),綜合考查直線與圓、雙曲線的位置關(guān)系以及不等式問題。從思路方面講,要緊扣“C1-C2型點(diǎn)”的定義,研究方程組解的情況。

 

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知曲線C1:y=x3(x≥0)與曲線C2:y=-2x3+3x(x≥0)交于O,A,直線x=
1
3
與曲線C1,C2分別交于B,D.則四邊形ABOD的面積S為( 。
A、
4
9
B、
3
C、2
D、
1
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知曲線C:y=
1
x
在點(diǎn)P(1,1)處的切線與x軸交于點(diǎn)Q1,過點(diǎn)Q1作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P1,曲線C在點(diǎn)P1處的切線與x軸交于點(diǎn)Q2,過點(diǎn)Q2作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P2,…,依次得到一系列點(diǎn)P1、P2、…、Pn,設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為(xn,yn)(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求三角形OPnPn+1的面積S△OPnPn+1
(Ⅲ)設(shè)直線OPn的斜率為kn,求數(shù)列{nkn}的前n項(xiàng)和Sn,并證明Sn
4
9

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知曲線C:y=x2(0≤x≤1),O(0,0),Q(1,0),R(1,1).取線段OQ的中點(diǎn)A1,過A1作x軸的垂線交曲線C于P1,過P1作y軸的垂線交RQ于B1,記a1為矩形A1P1B1Q的面積.分別取線段OA1,P1B1的中點(diǎn)A2,A3,過A2,A3分別作x軸的垂線交曲線C于P2,P3,過P2,P3分別作y 軸的垂線交A1P1,RB1于B2,B3,記a2為兩個(gè)矩形A2P2B2A1與矩形A3P3B3B1的面積之和.以此類推,記an為2n-1個(gè)矩形面積之和,從而得數(shù)列{an},設(shè)這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn
(Ⅰ) 求a2與an;
(Ⅱ) 求Sn,并證明Sn
13

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖:已知曲線C:在點(diǎn)P(1,1)處的切線與x軸交于點(diǎn)Q1,再過Q1點(diǎn)作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P1,再過P1作C的切線與x軸交于點(diǎn)Q2,依次重復(fù)下去,過Pn(xn,yn)作C的切線與x軸交于點(diǎn)Qn(xn+1,O).
(1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;
(2)求△OPnPn+1的面積;
(3)設(shè)直線OPn的斜率為kn,求數(shù)列nkn的前n項(xiàng)和Sn,并證明Sn
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:0103 模擬題 題型:解答題

如圖,已知曲線C1:y=x3(x≥0)與曲線C2:y=-2x3+3x(x≥0)交于點(diǎn)O、A,直線x=t(0<t<1)與曲線C1、C2分別相交于點(diǎn)B、D,
(Ⅰ)寫出四邊形ABOD的面積S與t的函數(shù)關(guān)系S=f(t);
(Ⅱ)討論f(t)的單調(diào)性,并求f(t)的最大值。

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