Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知中心在原點(diǎn)，離心率為的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為圓： 的圓心．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，過作兩條斜率之積為的直線， ，當(dāng)直線， 都與圓相切時(shí)，求的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ），或，或，或.

【解析】試題分析：（1）圓心坐標(biāo)是已知的，故橢圓的焦點(diǎn)是已知的，從而半焦距已知了，又有離心率，故半長(zhǎng)軸長(zhǎng)也能求出，從而求出，而根據(jù)題意，橢圓方程是標(biāo)準(zhǔn)方程，可其方程易得；（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，再設(shè)一條切線的斜率為，則另一條切線的斜率為，三個(gè)未知數(shù)需要三個(gè)方程，點(diǎn)P在橢圓上，一個(gè)等式，兩條直線都圓的切線，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑又得到兩個(gè)等式，三個(gè)等量關(guān)系，三個(gè)未知數(shù)理論上可解了，當(dāng)然具體解題時(shí)，可設(shè)切線斜率為，則點(diǎn)斜率式寫出直線方程，利用圓心到切線距離等于圓半徑得出關(guān)于的方程，而是這個(gè)方程的兩解，由韋達(dá)定理得，這個(gè)結(jié)果又是，就列出了關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)方程，再由P點(diǎn)在橢圓上，可解出P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，所以，又， ， ，而據(jù)題意橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程，故其方程為．4分

（2）設(shè)，得

∵，依題意到的距離為

整理得同理

∴是方程的兩實(shí)根10分

12分

∴14分

16分