Question

（2012•安徽模擬）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，點(diǎn)M在棱AB上，AM=

1

3

，點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線A₁D₁的距離與點(diǎn)P到M的距離的平方差為

8

9

，則P點(diǎn)的軌跡是

拋物線

．

Answer 1

分析：以A為原點(diǎn)，AB、AA₁分別為y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，得M（0，

1

3

，0）．設(shè)P（x，y，0），用空間兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合題意列出關(guān)于x、y的方程，化簡整理得拋物線方程：x²=

2

3

y，即得本題的答案．

解答：解：以A為原點(diǎn)，AB、AA₁分別為y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系
則M（0，

1

3

，0），設(shè)P（x，y，0），
設(shè)PR⊥A₁D₁于R，則PR是點(diǎn)P到直線A₁D₁的距離
PR²=y²+1，PM²=x²+（y-

1

3

）²，
由題意，得PR²-PM²=y²+1-[x²+（y-

1

3

）²]=

8

9

化簡，得x²=

2

3

y，
故P的軌跡是以A為頂點(diǎn)，AB為軸的拋物線
故答案為：拋物線

點(diǎn)評(píng)：本題在正方體中給出動(dòng)點(diǎn)到定直線距離與到定點(diǎn)距離平方差為定值，著重考查了空間兩點(diǎn)間的距離公式和曲線與方程等知識(shí)，屬于中檔題．