已知橢圓C：
x24
+y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F的值線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，過F2且平行于l的直線l1交橢圓C與M、N兩點(diǎn)．
（1）求△ABF2的周長；
（2）求△ABM面積的最大值．
分析：（1）由橢圓的定義可得△ABF2的周長；
（2）設(shè)直線l的傾斜角為θ，當(dāng)θ≠
π
2
時(shí)，求出點(diǎn)M到直線l的距離即為兩條平行線間的距離，|AB|，計(jì)算三角形的面積，利用基本不等式求最值；當(dāng)θ=
π
2
時(shí)，|AB|=1，d=2
3
，此時(shí)S△ABM=
3
＜2，由此可得△ABM面積的最大值．
解答：解：（1）由橢圓的定義可得△ABF2的周長=|AB|+AF2|+|BF2|=4a=8；
（2）設(shè)直線l的傾斜角為θ，當(dāng)θ≠
π
2
時(shí)，l：y=tanθ（x+
3
），l1：y=tanθ（x-
3
）
點(diǎn)M到直線l的距離即為兩條平行線間的距離：d=2
3
sinθ
∵|AB|=
2×
b2
a2
1-e2cos2θ
=
1
1-
3
4
cos2θ

∴S△ABM=
1
2
×
1
1-
3
4
cos2θ
×2
3
sinθ=
4
3
1
sinθ
+sinθ
≤
4
3
2
3
=2
當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=
3
3
時(shí)，取等號(hào)
當(dāng)θ=
π
2
時(shí)，|AB|=1，d=2
3
，此時(shí)S△ABM=
3
＜2
∴△ABM面積的最大值為2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)圓錐曲線上任意兩點(diǎn)連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對(duì)稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知橢圓C：
x2
4
+y2=1．
（1）過橢圓C的右焦點(diǎn)作一條垂直于x軸的垂軸弦MN，求MN的長度；
（2）若點(diǎn)P是橢圓C上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，MN是橢圓C的短軸，直線MP、NP分別交x軸于點(diǎn)E（xE，0）和點(diǎn)F（xF，0）（如圖），求xE?xF的值；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，把上述橢圓C一般化為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，MN是任意一條垂直于x軸的垂軸弦，其它條件不變，試探究xE?xF是否為定值？（不需要證明）；請(qǐng)你給出雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)中相類似的結(jié)論，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x24
+y2=1，直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）試探究：點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由；
（2）求△AOB面積S的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•房山區(qū)一模）已知橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1和點(diǎn)P（4，0），垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，連結(jié)PB交橢圓C于另一點(diǎn)E．
（Ⅰ）求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
（Ⅱ）證明直線AE與x軸相交于定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）已知橢圓C：
x2
4
+y2=1，直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，
OA
•
OB
=0（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）試探究：點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由；
（2）求|OA|•|OB|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）如圖1，已知定點(diǎn)F1（-2，0）、F2（2，0），動(dòng)點(diǎn)N滿足|
ON
|=1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
F1M
=2
NM
，
MP
=λ
MF2
（λ∈R），
F1M
•
PN
=0，求點(diǎn)P的軌跡方程．
精英家教網(wǎng)
（2）如圖2，已知橢圓C：
x2
4
+y2=1的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓上，且異于點(diǎn)A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點(diǎn)M、N，
（�。┰O(shè)直線AP、BP的斜率分別為k1、k2，求證：k1•k2為定值；
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

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