Question

已知x軸上有一點(diǎn)列P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，且當(dāng)n≥2時(shí)，點(diǎn)P_n是把線段P_n-1P_n+1作n等分的分點(diǎn)中最靠近P_n+1的點(diǎn)，設(shè)線段P₁P₂，P₂P₃，…，P_nP_n+1的長度分別為a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=1．
（I）寫出a₂，a₃和a_n（n≥2，n∈N^*）的表達(dá)式；
（II）記，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n+1，令n=2，P₁P₂=P₂P₃，故a₂=1．同理，，，由此能求出a_n（n≥2，n∈N^*）的表達(dá)式．
（II）由，n∈N^*，知，當(dāng)n≥2時(shí)，==，由此能夠證明．
解答：解：（I）由已知P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n+1，
令n=2，P₁P₂=P₂P₃，
∴a₂=1．
同理，，
∴，
∴=…==，（n≥2）．
（II）∵，n∈N^*，
∴當(dāng)n=1時(shí)，，
當(dāng)n≥2時(shí)，==
==，
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n
=+…+（）]
=
＜=（n≥2）．
∵，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．