Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n+m•2ⁿ（m是與無關(guān)的常數(shù)且m≠0）．
（1）設(shè)bn=

an

2n

，證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求a_n；
（2）若數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用a_n+1=2a_n+m•2ⁿ，兩邊同除2ⁿ，推出b_n+1，b_n的關(guān)系，然后判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列．
（2）通過（1）求出數(shù)列 a_n，利用數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，通過a_n+1-a_n＜0，求出m的最小值．

解答：（本小題滿分13分）
解：（1）由題意a_n+1=2a_n+m•2ⁿ
等式兩邊同除2ⁿ⁺¹，得：

an+1

2n+1

=

an

2n

+

m

2

，
即：bn+1=bn+

m

2

，
而b₁=

a1

21

=

1

2

∴是數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公差為

m

2

的等差數(shù)列．
∴bn=

1

2

+(n-1)

m

2

=

mn+1-m

2

，
因?yàn)?span id="rdy95pj" class="MathJye">bn=

an

2n

，所以a_n=2ⁿb_n，
a_n=2^n-1（mn+1-m）．
（2）由（1）得：a_n=2^n-1（mn+1-m），
a_n+1-a_n=[m（n+1）+1-m]•2ⁿ-（mn+1-m）•2^n-1
=2^n-1（mn+1+m）
∵數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，
∴對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式2^n-1（mn+1+m）＜0恒成立，
即m＜-

1

n+1

恒成立?m＜(-

1

n+1

)min=-

1

2

．
所以m的取值范圍是（-∞，-

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列的判定，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算能力，邏輯推理能力．